Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點A為弧EF的中點，BF交AD于點E，且BE·EF=32，AD=6.

 

（1）求證：AE=BE；

（2）求DE的長；

（3）求BD的長 .

 

Answer 1

【答案】

（1）連AF，由A為的中點可得∠ABE=∠AFB，再根據圓周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC為直徑可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可證得結論；（2）2；（3）

【解析】

試題分析：（1）連AF，由A為的中點可得∠ABE=∠AFB，再根據圓周角定理可得∠AFB=∠ACB，即得∠ABE=∠ACB，由BC為直徑可得∠BAC=90°，AH⊥BC，即可證得結論；

（2）設DE=x（x＞0），由AD=6，BE?EF=32，AE?EH=BE?EF，可列式為（6-x）（6+x）=32，由此求解；

（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根據Rt△BDE中的勾股定理求解．

（1）連AF，

∵A為的中點，

∴∠ABE=∠AFB，

又∠AFB=∠ACB，

∴∠ABE=∠ACB .

∵ BC為直徑，

∴∠BAC=90°，AH⊥BC，

∴∠BAE=∠ACB，

∴∠ABE=∠BAE，

∴ AE=BE；

（2）設DE=x（x>0），由AD=6，BE·EF=32，AE·EH=BE·EF，

有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE的長為2；

（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，

在RtΔBDE中，BD==.

考點：相交弦定理，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理

點評：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，均等于所對圓心角的一半.