Question

【探究發現】如圖１，是等邊三角形，，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F．當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；

【數學思考】某數學興趣小組在探究AE、EF的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，通過驗證得出如下結論：當點E是直線BC上（B,C除外）任意一點時(其它條件不變)，結論AE=EF仍然成立．

假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點Ｅ是線段BC延長線上的任意一點”；“ 點Ｅ是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進行證明．

 

【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時，若CE = BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結論求出的值．

Answer 1

(1) 正確畫出圖形

①第一種情況：當點E在線段BC上時．

證明：在AB上取AG=CE，連接EG．

則是等邊三角形

∴∠AGE=，而∠ECF=

∴∠AGE=∠ECF…

∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠GAE+∠B，

∴∠GAE=∠CEF

∴≌(ASA)

∴AE=EF

②第二種情況：當點E在BC延長線上時．

在CF取CG=CE，連接EG．

∵CF是等邊三角形外角平分線

∴∠ECF=

∵CG=CE

∴是等邊三角形

∴∠FGE=∠ACE=

∵∠AEF=∠AEG+∠GEF=∠AEG+∠AEC=

∴∠GEF=∠CEA…

∴≌(ASA)

∴AE=EF

③第三種情況：當點E在BC的反向延長線上時．

在AB的延長線上取AG=CE，連接EG．

則有BG= BE；∴是等邊三角形

∴∠G=∠ECF= 

∵∠CEF=∠AEF-∠AEC=-∠AEC

∠EAB=∠ABC-∠AEC=-∠AEC

∴∠CEF=∠EAB

∴≌(ASA)

∴AE=EF

（2）正確畫出圖形…

∵CE = BC=AC

∴∠CAE=∠CEA=，∠BAE=

∴

∵AE=EF，∠AEF=

∴是等邊三角形

∴∽

∴．