Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若MN  MC=8，求⊙O的直徑.

Answer 1

（1）由題意得到半徑OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切線（2）AB=4

試題分析（1）：因為同圓中半徑相等，得到相等的角，直徑所對的圓周角為90°，再由已知，經過等量代換，半徑與直線垂直。（2）連接AM，BM.由題意易得△ANC∽△NMA,由已知一邊的長為8，根據相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找準對應邊。通過角找邊容易。1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO . 
∴∠COB=2∠ACO .
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO =∠PCB .  ........................................................ 1分
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO +∠OCB="90" . 
∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP. 
∵OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線.  ………………………2分
（2）解：連接MA、MB.（如圖）

∵點M是弧AB的中點，
∴∠ACM=∠BAM. 
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA .  …………………………3分
∴.
∴.
∵=8，
∴. ............................................................. 4分
∵AB是⊙O的直徑，點M是弧AB的中點，
∴∠AMB=90，AM=BM=.
∴.   5分
點評：掌握切線判定的條件，即經與圓過一點，且與半徑垂直，這個點到圓心的距離等于半徑長。本題需要畫輔助線，借助M點為中點根據弧弦圓周角的關系求之。