Question

5．設函數y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]（k是常數）．
（1）當k=1和k=2時的函數y₁和y₂的圖象如圖所示，請你在同一坐標系中畫出k=3時函數y₃的圖象；
（2）根據圖象，寫出你發現的兩條結論；
（3）將函數y₃的圖象向左平移2個單位，再向下平移4個單位，得到函數y₄的圖象．請寫出函數y₄的解析式，回答自變量x取何值時，函數y₄的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）把k=3代入y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]得到y=x²+4x+3，配方得到y=（x+2）²-1，所以函數y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點坐標為（-2，-1），然后利用描點法畫出函數y₃的圖象；
（2）利用函數圖象經過固定點進行回答；
（3）利用點平移的規律得到點（-2，-1）平移所得對應點的坐標為（-4，-5），然后根據頂點式寫出y₄的解析式，然后根據二次函數的性質確定函數y₄的最小值．

解答 解：（1）當k=3時，y₃=（x+1）（x+3）=x²+4x+3=（x+2）²-1，
則函數y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點坐標為（-2，-1），
如圖，

（2）①圖象都經過（-2，-1）和（-1，0）；
②圖象總交x軸于點（-1，0）；
（3）函數y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點坐標為（-2，-1），把點（-2，-1）向左平移2個單位，再向下平移4個單位所得對應點的坐標為（-4，-5），
所以函數y₄的解析式為y=（x+4）²-5，
當x取-4時，函數y₄的最小值是-5．

點評 本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．也考查了二次函數的圖象．