Question

“哪里的民營(yíng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展得好，哪里的經(jīng)濟(jì)就越發(fā)達(dá)．”恒強(qiáng)科技公司在重慶市委市政府這一執(zhí)政理念的鼓舞下，在已有高科技產(chǎn)品A產(chǎn)生利潤(rùn)的情況下，決定制定一個(gè)開(kāi)發(fā)利用高科技產(chǎn)品B的10年發(fā)展規(guī)劃，該規(guī)翹晦年的專(zhuān)項(xiàng)投資資金是50萬(wàn)元，在前五年，每年從專(zhuān)項(xiàng)資金中最多拿出25萬(wàn)元投入到產(chǎn)品A使它產(chǎn)生利潤(rùn)，剩下的資金全部用于產(chǎn)品B的研發(fā)．經(jīng)測(cè)算，每年投入到產(chǎn)品A中x萬(wàn)元時(shí)產(chǎn)生的利潤(rùn)y₁（萬(wàn)元）滿(mǎn)足下表的關(guān)系

x（萬(wàn)元）	10	20	30	40
y1（萬(wàn)元）	2	8	10	8

從第六年年初開(kāi)始，產(chǎn)品B已研發(fā)成功，在產(chǎn)品A繼續(xù)產(chǎn)生利潤(rùn)的同時(shí)產(chǎn)品B也產(chǎn)生利潤(rùn)，每年投入到產(chǎn)品B中x萬(wàn)元時(shí)產(chǎn)生的利潤(rùn)y₂（萬(wàn)元）滿(mǎn)足y2=-

49

50

x2+

296

5

x-202．
（1）請(qǐng)觀(guān)察題目中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，求出y₁與x的函數(shù)關(guān)系式？
（2）按照此發(fā)展規(guī)劃，求前5年產(chǎn)品A產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和是多少萬(wàn)元？
（3）后5年，專(zhuān)項(xiàng)資金全部投入到產(chǎn)品A、產(chǎn)品B使它們產(chǎn)生利潤(rùn)，求后5年產(chǎn)品A、產(chǎn)品B產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和是多少萬(wàn)元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題

分析：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)，y₁與x不是一次函數(shù)關(guān)系，也不是反比例函數(shù)關(guān)系，故可設(shè)y₁=ax²+bx+c，選擇三點(diǎn)代入可得出答案．
（2）利用配方法確定A產(chǎn)品每年的最大利潤(rùn)，繼而可得前5年產(chǎn)品A產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和；
（3）設(shè)每年投入B a萬(wàn)元，則每年投入A （50-a）萬(wàn)元，設(shè)后5年每年產(chǎn)生的最大利潤(rùn)為W，利用配方法求出最值，繼而可得后5年產(chǎn)品A、產(chǎn)品B產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和．

解答：解：（1）設(shè)y₁=ax²+bx+c，
則

100a+10b+c=2 400a+20b+c=8 900a+30b+c=10

，
解得：

a=- 1 50 b= 6 5 c=-8

，
故可得y₁=-

1

50

x²+

6

5

x-8．

（2）y₁=-

1

50

x²+

6

5

x-8=-

1

50

（x-30）²+10，
∵0＜x≤25，
∴當(dāng)x=25時(shí)，y₁取得最大，y_1最大=9.5萬(wàn)元，
故前5年產(chǎn)品A產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和=9.5×5=47.5萬(wàn)元．

（3）設(shè)每年投入B a萬(wàn)元，則投入A （50-a）萬(wàn)元，后5年每年產(chǎn)生的最大利潤(rùn)為W，
則W=-

49

50

a²+

296

5

a-202-

1

50

（50-a）²+

6

5

（50-a）-8=-a²+60a-200=-（a-30）²+700，
當(dāng)a=30時(shí)，W取得最大，W_最大=700萬(wàn)元，
故后5年產(chǎn)品A、產(chǎn)品B產(chǎn)生的最大利潤(rùn)之和是3500萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用，計(jì)算量較大，注意細(xì)心求解．