Question

4．如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC上一點，以OC為半徑的⊙O與CD交于點M，且∠BAC=∠DAM．
（1）求證：AM與⊙O相切；
（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，由四邊形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可證得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，則可證得AM與⊙O相切；
（2）易證得△BAC∽△DAM，由相似三角形的性質得到$\frac{BC}{DM}$=$\frac{AC}{AM}$，得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DM}{AM}$，根據AM=3DM，BC=2求得AC=6，在△DAM中，根據勾股定理得DM²+AD²=AM²，即可求得DM和AM，在△AMO中，根據AM²+MO²=AO²求得OM的長，即可得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接OM．
在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
∴∠BAC=∠DCA，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM．
∵∠BAC=∠DAM，
∴∠DAM=∠OMC．
∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．
在△DAM中，∠D=90°，
∴∠DAM+∠DMA=180°-90°=90°．
∴∠OMC+∠DMA=90°．
∴∠AMO=90°，
∴AM⊥MO．
點M在⊙O上，OM是⊙O的半徑，
∴AM與⊙O相切．　
（2）在△BAC與△DAM中，
∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，
∴△BAC∽△DAM，
∴$\frac{BC}{DM}$=$\frac{AC}{AM}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DM}{AM}$．
∵AM=3DM，
∴AC=3BC．BC=2，
∴AC=6，
在△DAM中，DM²+AD²=AM²
即DM²+2²=（3DM）²
解得DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
在△AMO中，AM²+MO²=AO²
即（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+MO²=（6-MO）²．
解得MO=$\frac{21}{8}$．

點評 此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．