Question

如圖，點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（x＞0）于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)．若BD=2AC，則4OC²-0D²的值為（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

Answer 1

【答案】分析：延長(zhǎng)AC交x軸于E，延長(zhǎng)BD交x軸于F．設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．根據(jù)BD=2AC即可得到a，b的關(guān)系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子從而求解．
解答：解：延長(zhǎng)AC交x軸于E，延長(zhǎng)BD交x軸于F．
設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，
∵點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，
∴A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D兩點(diǎn)在交雙曲線（x＞0）上，則CE=，DF=．
∴BD=BF-DF=b-，AC=a-．
又∵BD=2AC
∴b-=2（a-），
兩邊平方得：b²+-2=4（a²+-2），即b²+=4（a²+）-6．
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+，同理OD²=b²+，
∴4OC²-0D²=4（a²+）-（b²+）=6．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，正確利用BD=2AC得到a，b的關(guān)系是關(guān)鍵．