Question

如圖，點A、B為直線y=x上的兩點，過A、B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線y=

1

x

（x＞0）于點C、D兩點．若BD=2AC，則4OC²-0D²的值為（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．設A、B的橫坐標分別是a，b，點A、B為直線y=x上的兩點，A的坐標是（a，a），B的坐標是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．根據BD=2AC即可得到a，b的關系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子從而求解．

解答：解：延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．
設A、B的橫坐標分別是a，b，
∵點A、B為直線y=x上的兩點，
∴A的坐標是（a，a），B的坐標是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D兩點在交雙曲線y=

1

x

（x＞0）上，則CE=

1

a

，DF=

1

b

．
∴BD=BF-DF=b-

1

b

，AC=a-

1

a

．
又∵BD=2AC
∴b-

1

b

=2（a-

1

a

），
兩邊平方得：b²+

1

b2

-2=4（a²+

1

a2

-2），即b²+

1

b2

=4（a²+

1

a2

）-6．
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+

1

a2

，同理OD²=b²+

1

b2

，
∴4OC²-0D²=4（a²+

1

a2

）-（b²+

1

b2

）=6．
故選B．

點評：本題考查了反比例函數與勾股定理的綜合應用，正確利用BD=2AC得到a，b的關系是關鍵．