Question

如圖①，一只螞蟻從圓錐底面的A點出發，沿側面繞行一周后到達母線SA的中點M．螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究．
（1）善于表現的銀銀首先列出了一組數據：圓錐底面半徑r=10cm，母線SA長為40cm，就這組數據，請你求出螞蟻所走的最短路程；
（2）一向穩重的慧慧只給出一個數據：圓錐的錐角等于60°（如圖②），請問：螞蟻如何行走最合算？
（3）通過（1）、（2）的計算與歸納，銀銀、慧慧自認為他們已找到問題的解決方法，可老謀深算的樂樂認為他們考慮欠周，
①請你分析，樂樂為什么認為他們考慮欠周？
②結合上面的研究，請你給出這一問題的一般性解法．

Answer 1

分析：圓錐展開成平面后是扇形，要路徑最短，就要展開后，螞蟻爬的是直角三角形的一條直角邊才可以．
（1）根據條件求出展開的扇形的圓心角度數，然后求結果看看．
（2）根據錐角可找出母線和半徑的關系，但都不知道長．
（3）根據求得的數據和不能求解可知道考慮千周，然后給出一般性解法．

解答：解：（1）2π•10=nπ•40÷180°
n=90°，
AM=

402+202

=20

5

．

（2）∵錐角為60°，
∴底面直徑的長和母線的長相等，
但缺少母線的長．

（3）①因為銀銀的數據不合理，因為慧慧缺少條件．
②（1）展成平面圖形．
（2）知道母線的長，知道扇形的圓心角度數，以及M是SA的中點，根據三角函數或者構造直角三角形來求解．

點評：本題考查平面展開最短路徑問題，關鍵知道圓錐展開成平面后是扇形，且爬行的路線是三角形的一邊，根據三角形的特點求解．