Question

已知如圖，圓錐的底面圓的半徑為r（r＞0），母線長OA為3r，C為母線OB的中點在圓錐的側面上，一只螞蟻從點A爬行到點C的最短線路長為（　　）

• A、

  3

  2

  r
• B、

  3 3

  2

  r
• C、

  3

  3

  r
• D、3

  3

  r

Answer 1

分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．

解答：解：由題意知，底面圓的直徑為2r，故底面周長等于2rπ，
設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°，
根據底面周長等于展開后扇形的弧長得，2rπ=

nπ•3r

180

，
解得n=120，
所以展開圖中扇形的圓心角為120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
過C作CF⊥OA，
∵C為OB中點，BO=3r，
∴OC=

3

2

r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=

3

4

r，
∴CF²=CO²-OF²=

27

16

r²，
∵AO=3r，FO=

3

4

r，
∴AF=

9

4

r，
∴AC²=AF²+FC²=

27

16

r²+

81

16

r²═

27

4

r²，
∴AC=

3 3 r

2

，
故選B．

點評：圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．