Question

16．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，CD=5．將梯形ABCD繞點A旋轉后得到梯形AB₁C₁D₁，其中B、C、D的對應點分別是B₁、C₁、D₁，當點B₁落在邊CD上時，點D₁恰好落在CD的延長線上，那么DD₁的長為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)旋轉的性質得出△DAB≌△D₁AB₁，再根據(jù)全等三角形的性質以及等腰三角形的性質，得出∠2=∠3，然后根據(jù)平行線的性質，得出∠2=∠4，若設∠1=∠2=∠3=∠4=α，則根據(jù)∠2+∠3+∠5=180°，可以求得α的度數(shù)為60°，最后根據(jù)△ADD₁、△BCD都是等邊三角形，求得DD₁=AD=$\frac{5}{2}$．

解答 解：如圖，將梯形ABCD繞點A旋轉后得到梯形AB₁C₁D₁，連接BD，
由旋轉得：AD=AD₁，AB=AB₁，∠DAD₁=∠BAB₁，
∴∠DAB=∠D₁AB₁，且∠1=∠3，
在△DAB和△D₁AB₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=A{D}_{1}}\\{∠DAB=∠{D}_{1}A{B}_{1}}\\{AB=A{B}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△D₁AB₁（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠4，
設∠1=∠2=∠3=∠4=α，則∠5=180°-∠4-∠C=120°-α，
∵∠2+∠3+∠5=180°，
∴α+α+120°-α=180°，
解得α=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°，
∴△ADD₁、△BCD都是等邊三角形，
∴BD=CD=5，∠ABD=30°，
∴Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，
∴DD₁=AD=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$

點評 本題以旋轉為背景，主要考查了全等三角形與等邊三角形．解題時注意，旋轉前后的對應邊相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，這是解題的關鍵．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時需要添加適當輔助線構造三角形．