Question

5．如圖，在平面直角坐標系系xOy中，若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，則稱△ABC為拋物線的“交軸三角形”．
（1）求拋物線y=x²-1的“交軸三角形”的面積；
（2）寫出拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）存在“交軸三角形”的條件；
（3）已知：拋物線y=ax²+bx+4過點M（3，0）．
①若此拋物線的“交軸三角形”是以y軸為對稱軸的等腰三角形，求拋物線的表達式；
②若此拋物線的“交軸三角形”是不以y軸對稱軸的等腰三角形，求“交軸三角形”的面積．

Answer 1

分析 （1）只要求出“交軸三角形”△ABC的頂點坐標即可解決問題．
（2）只要拋物線與x軸有兩個交點，且不經過原點即可．
（3）①求出A、B坐標利用待定系數法即可解決問題．
②分兩種情形討論a、當BC=BA時，A（-2，0）或（8，0）．b、當A″C=A″B時，點A″在線段AB的垂直平分線上，分別求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-1與x軸交于A（-1，0），B（1，0），與y軸交于（0，1），
∴“交軸三角形”△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

（2）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）存在“交軸三角形”的條件：b²-4ac＞0且c≠0．

（3）①如圖1中，

∵拋物線的“交軸三角形”是以y軸為對稱軸的等腰三角形，
∴拋物線的對稱軸x=0，b=0，A（-3，0），B（3，0），
∴0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{9}$x²+4．

②如圖2中，

∵B（3，0），C（0，4），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
a、當BC=BA時，A（-2，0）或（8，0），此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
b、當A″C=A″B時，點A″在線段AB的垂直平分線上，
∵直線ABD 解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$．
∴A″（-$\frac{7}{6}$，0），
∴S_△A″BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×4=$\frac{25}{3}$，
綜上所述，此拋物線的“交軸三角形”是不以y軸對稱軸的等腰三角形，“交軸三角形”的面積為10或$\frac{25}{3}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、勾股定理、待定系數法、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考壓軸題．