Question

13．如圖，AC是⊙O的直徑，AC=10，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）若E是BD中點，求AD²+BC²的值．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理求出∠A=∠B，根據相似三角形的判定推出即可；
（2）連接CD，根據圓周角定理得到∠ADC=90°，根據垂徑定理得到AC⊥BD，BE=DE，由射影定理得到DE²=BE²=AE．CE，∠AEC=∠BEC=90°，等量代換即可得到結論．

解答 證明：（1）∵弧CD=弧CD，
∴∠A=∠B，
 又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；

（2）連接CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵E是BD中點，AC是⊙的直徑
∴AC⊥BD，BE=DE，
∴DE²=BE²=AE．CE，∠AEC=∠BEC=90°，
∴AD²+BC²=DE²+AE²+CE²+BE²=2DE²+AE²+CE²=AE²+CE²+2AE．CE=（AE+CE）²=100．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定，垂徑定理，完全平方公式，射影定理，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，難度適中．