Question

8．如圖所示的暗礁區，兩燈塔A，B之間的距離恰好等于圓半徑的$\sqrt{2}$倍，為了使航船（S）不進入暗礁區，那么S 對兩燈塔A，B的視角∠ASB必須（　　）

• A． 大于60°
• B． 小于60°
• C． 大于45°
• D． 小于45°

Answer 1

分析 連接OA，OB，AB及BC，由AB等于圓半徑的$\sqrt{2}$倍，得到三角形AOB為直角三角形，根據直角三角形的性質可得∠AOB=90°，由同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，求出∠ACB的度數，再由∠ACB為△SCB的外角，根據三角形的外角性質：三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個內角，可得∠ASB小于∠ACB，即可得到正確的選項．

解答 解：連接OA，OB，AB，BC，如圖所示：
∵AO=BO，AB=$\sqrt{2}$AO，
∴△AOB為直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∵∠ACB與∠AOB所對的弧都為$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
又∠ACB為△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜45°．
故選D．

點評 此題考查了圓周角定理，三角形的外角性質，以及直角三角形的性質，根據題意作出輔助線，靈活運用圓周角定理是解本題的關鍵．