Question

已知：如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AG⊥EF交EF于G，又B為AG上一點，EB的延長線交半圓于點K，
（1）求證：AE²=EB•EK；
（2）若A是弧Ek的中點，求證：EB=AB；
（3）若EG=2，GF=6，GB=，求BK的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為EF是直徑，所以它所對的圓周角為直角，再利用垂直，利用三角形相似證明；
（2）根據圓周角的定理，相等的弧對應的圓周角相等可以證明出來；
（3）利用三角形的相似求解．
解答：（1）證明：如圖，連接AF、KF，
∵EF是直徑，
∴∠EAF=∠EKF=90°
又AG⊥EF交EF于G，
所以∠BGE=∠EKF=90°，
所以△BEG∽△FEK，
則
所以BE•EK=EF•EG；
又AG⊥EF交EF于G，∠EAF=90°
所以△AEG∽△FEA，
則
即AE²=FE•EG
所以得出：AE²=EB•EK；

（2）證明：由（1）知，△AEG∽△FEA，
所以∠EAG=∠EFA
又A是弧Ek的中點，
根據圓周角性質可得：∠EFA=∠AEB
所以∠EAG=∠AEB
因此EB=AB；

（3）解：由（1）知，△BEG∽△FEK，
所以
在直角三角形BEG中，BE===3
又FG=6，所以EF=EG+GF=2+6=8
所以
解得EK=
所以BK=EK-BE=-3=．
點評：本題考查的是垂徑定理和圓周角性質，同時還有三角形相似的問題，再加上圓心角、弧、弦等，是一道綜合性比較強的題．