Question

已知：如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AG⊥EF交EF于G，K為半圓上的一點，且

AE

=

AK

，連接EK交AG于點B，求證：AB=BE．

Answer 1

分析：先連接AF，由于EF是直徑，那么∠EAF=90°，于是∠AFE+∠AEF=90°，又根據AG⊥EF，易得∠EAG+∠AEG=90°，根據同角的余角相等可知∠AFE=∠EAG，而

AE

=

AK

，易得∠AEK=∠AFE，等量代換可得∠AEK=∠EAG，于是AB=BE．

解答：證明：連接AF，如右圖，
∵EF是直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AFE=∠EAG，
∵

AE

=

AK

，
∴∠AEK=∠AFE，
∴∠AEK=∠EAG，
∴AB=BE．

點評：本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形．