Question

已知，如圖，BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作弦DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接BD、BE．
（1）仔細(xì)觀察圖形并寫(xiě)出四個(gè)不同的正確結(jié)論：①

 

，②

 

，③

 

，④

 

（不添加其它字母和輔助線，不必證明）；
（2）∠A=30°，CD=

2 3

3

，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）由BC是⊙O的切線，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根據(jù)DE∥BC和垂徑定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等邊對(duì)等角得∠E=∠EDB；再由圓周角定理得∠A=∠E，可證△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）當(dāng)∠A=30°時(shí)BD=r，∠C=60°，再根據(jù)Rt△BCD中tan60°可求得r=2．

解答：解：（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=

1

2

AB=r；
又∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=

2 3

3

，
∴

BD

DC

=

r

2 3 3

=tan60°，
∴r=2．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．