Question

已知，如圖，BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，AC交⊙O于點D，過點D作弦DE⊥AB，垂足為點F，連接BD、BE．
（1）仔細觀察圖形并寫出四個不同的正確結論：①______，②______，③______，④______（不添加其它字母和輔助線，不必證明）；
（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC是⊙O的切線，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根據DE∥BC和垂徑定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等邊對等角得∠E=∠EDB；再由圓周角定理得∠A=∠E，可證△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；
（2）當∠A=30°時BD=r，∠C=60°，再根據Rt△BCD中tan60°可求得r=2．
解答：解：（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠A=30°，
∴BD=ABsinA=ABsin30°=AB=r；
又∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBA=90°，
∴∠C=60°；
在Rt△BCD中，
CD=，
∴=tan60°，
∴r=2．
點評：本題利用了切線的性質，垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質，銳角三角函數的概念求解．