Question

如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）已知∠B=30°，CD=4，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）連結OD，根據角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，則∠ODA=∠CAD，于是判斷OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由∠B=30°得到∠BAC=60°，則∠CAD=30°，在Rt△ADC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到AC=4

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，然后在Rt△ABC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系可得到AB=8

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．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
在Rt△ADC中，DC=4，
∴AC=

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DC=4

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，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=8

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．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．