Question

感知：如圖①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求證明）

拓展：如圖②，∠C=∠ABD=∠E．求證：△ACB∽△BED．
應用：如圖③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，則△ABD與△BDE的面積比為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：拓展：由∠C=∠ABD=∠E與∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB=∠DBE，即可證得：△ACB∽△BED．
應用：由△ACB∽△BED，根據相似三角形的對應邊成比例，可求得△ABC與△BDE的面積比，△ABC與△ABE的面積比，繼而求得答案．

解答：拓展：證明：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，
∴∠CAB=∠DBE，
∵∠C=∠E，
∴△ACB∽△BED；

應用：解：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，
∴∠CAB=∠DBE，
∵∠C=∠E=60°，
∴△ACB∽△BED，△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC=4，
∴BE=CE-BC=3，
∴△ACB與△BED的相似比為：4：3，
∴S_△ABC：S_△BED=16：9，S_△ABC：S_△ABE=1：3=16：48，
設S_△ABC=16x，則S_△ABE=48x，S_△BDE=9x
∴S_△ABD=S_△ABE-S_△BED=48x-9x=39x，
∴S_△ABD：S_△BDE=39：9=13：3．
故答案為：13：3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．