Question

在銳角三角形△ABC（如圖1）中，已知三角形的兩邊AB和AC的長分別為c和b，這兩邊的夾角為θ，請你用b、c、θ表示銳角三角形的面積=

1

2

bc•sinθ

；如圖2，把角A變為鈍角，其他條件不變，且sin（180-θ）=sinθ，則鈍角三角形的面積=

1

2

bc•sinθ

（用b、c、θ表示）；如圖3，已知△ABC的面積為1，求△AHE的面積

1

．

Answer 1

分析：根據三角函數關系得出三角形的高進而求出面積即可，再用sin（180-θ）=sinθ，得出鈍角三角形的面積，利用S_△ABC=

1

2

×AC×BM，S_△AHE=

1

2

AH•AE•sinθ求出面積即可．

解答：解：如圖1，過點C作CE⊥AB于點E，
∵三角形的兩邊AB和AC的長分別為c和b，這兩邊的夾角為θ，
∴CE=AC•sinθ，
∴S_△ABC=

1

2

×EC×AB=

1

2

bc•sinθ，
如圖2，過點C作CD⊥AB于點D，
∵三角形的兩邊AB和AC的長分別為c和b，這兩邊的夾角為θ，
∴CD=AC•sin（180-θ），
∴S_△ABC=

1

2

×DC×AB=

1

2

bc•sin（180-θ）=

1

2

bc•sinθ，
如圖3，過點B作BM⊥AC于點M，
∵三角形的兩邊AB和AC的長分別為c和b，這兩邊的夾角為θ，
∴BM=AB•sin（180-θ）=AB•sinθ，
∴S_△ABC=

1

2

×AC×BM=

1

2

bc•sin（180-θ）=

1

2

bc•sinθ=1，
∵∠BAC=θ，∠HAB=90°，∠EAC=90°，
∴∠HAE=180-θ，
∴S_△AHE=

1

2

AH•AE•sinθ=

1

2

bc•sinθ=1．
故答案為：

1

2

bc•sinθ，

1

2

bc•sinθ，1．

點評：此題主要考查了銳角三角函數關系以及三角形面積求法，根據已知表示出三角形的高是解題關鍵．