Question

如圖，在銳角三角形ABC中AB=4

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、2

Answer 1

分析：從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的最小值．

解答：解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，

∵∠BAC的平分線交BC于點D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，此時BM+MN有最小值，
∵AB=4

2

，∠BAC=45°，此時△ABE為等腰直角三角形，
∴BE=4，即BE取最小值為4，
∴BM+MN的最小值是4．
故選A．

點評：本題考查了軸對稱的應用．易錯易混點：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過構造全等三角形，把BM+MN進行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒有辦法把兩個線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離而導致錯誤．
規(guī)律與趨勢：構造法是初中解題中常用的一種方法，對于最值的求解是初中考查的重點也是難點．