Question

（1）猜想在銳角三角形ABC中，cosA+cosB+cosC與sinA+sinB+sinC的大小關系如何，并驗證你的猜想；
（2）如圖所示，已知邊長是2a的正三角形ABC沿直線L滾動，你能設法求出∠DAC+∠A₂AC的度數嗎？不妨試一試．

Answer 1

分析：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．代入具體的值進行驗證；
（2）圖形雖然復雜，但有規律可循，過點D作DE⊥L于點E，過點A₂作A₂F⊥L于點F，由于tan∠DAC=DE：AE，tan∠A₂AC=A₂F：AF，故可求得∠DAC與∠A₂AC的度數．

解答：解：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．
驗證：如∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°時，
cosA+cosB+cosC≈1.485，而sinA+sinB+sinC≈2.572，
故成立；

（2）過點D作DE⊥L于點E，過點A₂作A₂F⊥L于點F，
∴tan∠DAC=

DE

AE

=

3 a

5a

=

3

5

，tan∠A2AC=

A2F

AF

=

3 a

9a

=

3

9

．
∴∠DAC≈19.1°，∠A₂AC≈10.9°．
故∠DAC+∠A₂AC=19.1°+10.9°=30°．

點評：主要考查了直角三角形中相關知識，關鍵是把復雜的問題抽象到解直角三角形中．