Question

26、學完第2章“特殊的三角形”后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M、N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．
（1）判斷△ABM與△BCN是否全等，并說明理由．
（2）判斷∠BQM是否會等于60°，并說明理由．

（3）若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，利用SAS可以證明；
（2）根據兩個三角形全等，對應角相等可得∠CBN=∠BAM，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；
（3）和（1）同樣的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性質求∠BQM=60°．

解答：解：（1）全等，理由：
∵AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠CBN=∠BAM，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；

（3）同（1）可證△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠M=∠N，
∵∠QAN=∠CAM，∠BQM=∠M+∠QAN，∠ACB=∠N+∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°．

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質，以及等邊三角形的性質，綜合利用了三角形外角的性質，難度中等．