Question

學完第2章“特殊的三角形”后，老師布置了一道思考題：已知正△ABC，點M、N分別在BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．
（1）試求出圖1中∠BQM的度數；
（2）若將題中的點M、N改為在正△ABC的邊BC，CA的延長線上（如圖2），且BM=CN，若∠QBM=90°，正△ABC的邊長為1，試求出BQ的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可知∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，再由BM=CN，根據全等三角形的判定定理“SAS”，即可推出△ABM≌△BCN，推出∠CBN=∠BAM后，然后根據外角的性質即可推出∠BQM=∠BAM+∠ABN，即∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；
（2）由題意可知∠1=∠3=30°，BA=CB，∠ABM=∠BCN，結合BM=CN，根據全等三角形的判定定理“SAS”，推出△ABM≌△BCN，即可得∠BAM=∠QBM=90°，即∠BAQ=90°，然后根據直角三角形中特殊角的三角函數即可推出AQ=

1

2

BQ，再根據勾股定理，即可推出BQ的長度．

解答：解：（1）∵正△ABC，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN，
∴∠BQM=60°，

（2）∵正△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵∠QBM=90°，
∴∠1=∠3=30°，
∵正△ABC，
∴BA=CB，∠ABM=∠BCN，
∵BM=CN，
∴在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠QBM=90°，
∴∠BAQ=90°，
∴AQ=

1

2

BQ，
∵正△ABC的邊長為1，
∴AQ²+1=BQ²，
∴BQ²=

4

3

，
∴BQ=

2

3

3

．

點評：本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定及性質，勾股定理，關鍵在于熟練正確的運用相關的性質定理，求證相關三角形全等．