Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上的點,以AD為直徑作⊙O,連接BD并延長交⊙O于點E,連接CE.

(1)若CE=BC,求證:CE是⊙O的切線.

(2)在(1)的條件下,若CD=2,BC=4,求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3.

【解析】

（1）連接OE，根據等腰三角形的性質得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1＋∠5＝90°得到∠2＋∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到結論；

（2）設⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r＋2，由OE2＋CE2＝OC2得到關于r 的方程，即可求出半徑．

解答：解：（1）如圖，連接OE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1＋∠5＝90°．

∵CE＝BC，

∴∠1＝∠2．

∵OE＝OD，

∴∠3＝∠4．

又∵∠4＝∠5，

∴∠3＝∠5，

∴∠2＋∠3＝90°，即∠OEC＝90°，

∴OE⊥CE．

∵OE是⊙O的半徑，

∴CE是⊙O的切線．

（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2， BC=4

∴BC＝CE＝4．

設⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r＋2，

在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴OE2＋CE2＝OC2，

∴r2＋42＝（r＋2）2，

解得r＝3，

∴⊙O的半徑為3．