Question

6．如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且BE⊥AC于點F，則下列結論中錯誤的是（　　）

• A． AF=$\frac{1}{2}$CF
• B． ∠DCF=∠DFC
• C． 圖中與△AEF相似的三角形共有4個
• D． tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正確，不符合題意；
過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故B正確，不符合題意；
根據相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；
由△BAE∽△ADC，得到CD與AD的大小關系，根據正切函數可求tan∠CAD的值，故D錯誤，符合題意．

解答 解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正確，不符合題意；
B、過D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，故B正確，不符合題意；
C、圖中與△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5個，故C錯誤．
D、設AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{a}{2}}{b}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D正確，不符合題意．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，圖形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．