Question

20．如圖，已知點（1，3）在函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，矩形ABCD的邊BC在x軸正半軸上，E是對角線BD的中點，函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象又經過A、E兩點，點E的橫坐標為m，解答下列問題：
（1）求k的值；
（2）求點C的橫坐標（用m表示）；
（3）當∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把（1，3）代入反比例函數解析式即可；
（2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函數解析式上，求出AB，即A的縱坐標，代入求出A的橫坐標，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案；
（3）∠ABD=45°時，AB=BD，把（2）中的代數式代入即可求解．

解答 解：（1）∵點（1，3）在函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴3=$\frac{k}{1}$，即k=3；

（2）連接AC，則AC過E，過E做EG⊥BC交BC于G點，
∵點E的橫坐標為m，E在雙曲線y=$\frac{3}{x}$上，
∴E的縱坐標是y=$\frac{3}{m}$，
∵E為BD中點，
∴由平行四邊形性質得出E為AC中點，
∴BG=GC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=2EG=$\frac{6}{m}$，
即A點的縱坐標是$\frac{6}{m}$，
代入雙曲線y=$\frac{3}{x}$得：A的橫坐標是$\frac{1}{2}$m，
∴OB=$\frac{1}{2}$m，
即BG=GC=m-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m，
∴CO=$\frac{1}{2}$m+m=$\frac{3}{2}$m，
∴點C（$\frac{3}{2}$m，0）．

（3）當∠ABD=45°時，AB=AD，則有$\frac{6}{m}$=m，即m²=6，
解之m₁=$\sqrt{6}$，m₂=-$\sqrt{6}$（舍去），
∴m=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，熟知若函數過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．另外，平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等是解答此題的關鍵．