Question

【題目】若將拋物線y＝mx2﹣x﹣m（m≠0）在直線x＝﹣1與直線x＝1之間的部分記作圖象C，對于圖象C上任意一點P（a，b）均有﹣1≤b≤1成立，則m的取值范圍是___．

Answer 1

【答案】﹣≤m≤且m≠0.

【解析】

要使對于圖象C上任意一點P（a，b）均有-1≤b≤1成立，只需在給定區域內，y的最大值都滿足條件即可；分m＞0和m＜0兩種情況討論，當m＞0時，在分①當0＜＜1時，②當≥1時；當m＜0時再分①當-1＜＜0時，②當≤-1時，最后將解的情況綜合．

解：y＝mx2﹣x﹣m （m≠0）的對稱軸是x＝，

（1）當m＞0時，＞0，

①當0＜＜1時，即m＞，

此時當x＝﹣1時有最大值1；

此時當x＝時有最小值，

＝﹣1，

∴m＝，

②當≥1時，即0＜m≤，

此時當x＝﹣1時有最大值1；

此時當x＝1時有最小值﹣1；

∴0＜m≤；

（2）當m＜0時，＜0，

①當﹣1＜＜0時，即m＜，

此時當x＝時，y有最大值，

∴＝1，

∴m＝，

當x＝1時有最小值﹣1，

∴m＝，

②當≤﹣1時，即≤m＜0，

此時當x＝﹣1時有最大值1；

當x＝1時有最小值﹣1；

∴≤m＜0，

綜上所述，≤m≤且m≠0.