Question

（2012•青島）在“母親節”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構．根據市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應關系如圖所示：
（1）試判斷y與x之間的函數關系，并求出函數關系式；
（2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤．

Answer 1

分析：（1）觀察可得該函數圖象是一次函數，設出一次函數解析式，把其中兩點代入即可求得該函數解析式，進而把其余兩點的橫坐標代入看縱坐標是否與點的縱坐標相同；
（2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤×銷售量；
（3）根據進貨成本可得自變量的取值，結合二次函數的關系式即可求得相應的最大利潤．

解答：解：（1）y是x的一次函數，設y=kx+b，
圖象過點（10，300），（12，240），

10k+b=300 12k+b=240

，
解得

k=-30 b=600

，
∴y=-30x+600，
當x=14時，y=180；當x=16時，y=120，
即點（14，180），（16，120）均在函數y=-30x+600圖象上．
∴y與x之間的函數關系式為y=-30x+600；

（2）w=（x-6）（-30x+600）=-30x²+780x-3600，
即w與x之間的函數關系式為w=-30x²+780x-3600；

（3）由題意得：6（-30x+600）≤900，
解得x≥15．
w=-30x²+780x-3600圖象對稱軸為：x=-

b

2a

=-

780

2×(-30)

=13．
∵a=-30＜0，
∴拋物線開口向下，當x≥15時，w隨x增大而減小，
∴當x=15時，w_最大=1350，
即以15元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元．

點評：此題主要考查了二次函數的應用；注意結合自變量的取值求得二次函數的最值問題．