Question

（2012•青島一模）某軟件商店經銷一種銷售成本為每盤40元的益智游戲軟件，根據市場分析，若按每盤50元銷售，一個月能售出500盤；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10盤．
（1）設銷售單價為每盤x（x≥50）元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式；
（2）當銷售單價定為每盤多少元時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）當銷售單價定為每盤55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
（4）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少？
（5）要使銷售利潤高于8000元，漲價幅度應在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）設銷售單價為每盤x元，則每盤利潤為（x-40）元，月銷售量為[500-10（x-50）]元，根據月銷售利潤為y=
每盤利潤×月銷售量，列出y與x的關系式；
（2）將（2）的函數關系式寫成頂點式，可求月銷售最大利潤及此時的銷售單價；
（3）把x=55代入式子[500-10（x-50）]，y=（x-40）[500-10（x-50）]中，可求月銷售量和月銷售利潤；
（4）將y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，求x的值，再求銷售成本；
（5）根據（4）中所求x的兩個值，求漲價幅度．

解答：解：（1）依題意，得y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x²+1400x-40000，
（2）由（1）得y=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，∴當x=70時，y_最大=9000，
即當銷售單價定為每盤70元時，月銷售利潤最大，最大利潤是9000元；
（3）當x=55時，[500-10（x-50）]=450，y=-10（55-70）²+9000=6750，
即當銷售單價定為每盤55元時，月銷售量為450盤，月銷售利潤為6750元；
（4）把y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，
得-10（x-70）²+9000=8000，解得x₁=80，x₂=60，
銷售成本為40×[500-10（x-50）]，
當x=80時，40×[500-10（x-50）]=8000＜10000，
當x=60時，40×[500-10（x-50）]=16000＞10000，
所以，此時銷售單價為每盤80元；
（5）由（4）可知，當y=8000時，x₁=80，x₂=60，
二次函數圖象開口向下，要使銷售利潤高于8000元，則60＜x＜80，
即10＜x-50＜30，
所以，漲價幅度應大于10元，且小于30元．

點評：本題考查了二次函數的應用．關鍵是由月銷售利潤為y=每盤利潤×月銷售量，列出y與x的關系式，利用二次函數的性質解題．