Question

【題目】定義：如圖1，平面上兩條直線AB、CD相交于點O，對于平面內任意一點M，點M到直線AB、CD的距離分別為p、q，則稱有序實數對(p，q)是點M的“距離坐標”，根據上述定義，“距離坐標”為（0，0）的點有1個，即點O．

（1）“距離坐標”為1，0的點有 個；

（2）如圖2，若點M在過點O且與直線AB垂直的直線l上時，點M的“距離坐標”為p，q，且BOD 150，請寫出p、q的關系式并證明；

（3）如圖3，點M的“距離坐標”為，且DOB 30，求OM的長．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)；(3)

【解析】

（1）根據“距離坐標”的定義結合圖形判斷即可；

（2）過M作MN⊥CD于N，根據已知得出，，求出∠MON＝60°，根據含30度直角三角形的性質和勾股定理求出即可解決問題；

（3）分別作點關于、的對稱點、，連接、、，連接、分別交、于點、點，首先證明，求出，，然后過作，交延長線于，根據含30度直角三角形的性質求出，，再利用勾股定理求出EF即可．

解：（1）由題意可知，在直線CD上，且在點O的兩側各有一個，共2個，

故答案為：2；

（2）過作于，

∵直線于，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）分別作點關于、的對稱點、，連接、、，連接、分別交、于點、點．

∴，，

∴，，，

∴，

∴△OEF是等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

過作，交延長線于，

∴，

在中，，則，

在中，，，

∴，

∴．