Question

如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合）

，連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）∠A在什么范圍內變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；
（3）∠A在什么范圍內變化時，線段DE上存在點G，滿足條件DG=

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DA，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：在Rt△AEB中，
∵AC=BC，
∴CE=

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AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF．
∴BF=FD；

（2）由（1）BF=FD，而BC=CA，
∴CF∥AD，即AE∥CF．
若AC∥EF，則AC=EF，
∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．
∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°時，四邊形ACFE為梯形；

（3）作GH⊥BD，垂足為H，則GH∥AB．
∵DG=

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DA，
∴DH=

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DB．
又F為BD中點，
∴H為DF的中點．
∴GH為DF的中垂線．
∴∠GDF=∠GFD．
∵點G在ED上，
∴∠EFD≥∠GFD．
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．
∴3∠EDF≤180度．
∴∠EDF≤60度．
又∠A+∠EDF=90°，
∴30°≤∠A＜90°．
∴當30°≤∠A＜90°時，
DE上存在點G，滿足條件DG=

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DA．