Question

如圖，∠ABM為直角，點(diǎn)C為線段BA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如能，求出此時(shí)∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BF=FD，可證BF=EF，F(xiàn)D=EF．欲證BF=EF，在△BEF中，可證∠BEF=∠EBF，由于CE為直角△ABE斜邊AB的中線，所以CB=CE，根據(jù)等邊對(duì)等角，得出∠CEB=∠CBE，又∠CEF=∠CBF=90°，由等角的余角相等得出∠BEF=∠EBF；欲證FD=EF，在△FED中，可證∠FED=∠EDF，由于∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，而∠BEF=∠EBF，故∠FED=∠EDF．
（2）假設(shè)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能使四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=AB，EF=BF=BD，則BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．
解答：解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC，
∴，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF，
∵EF=FD．
∴BF=FD．

（2）能．理由如下：
若四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，
∴BC=BF，
∴BA=BD，∠A=45°．
∴當(dāng)∠A=45°時(shí)四邊形ACFE為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法．