Question

如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時∠A的度數．

Answer 1

分析：（1）欲證BF=FD，可證BF=EF，FD=EF．欲證BF=EF，在△BEF中，可證∠BEF=∠EBF，由于CE為直角△ABE斜邊AB的中線，所以CB=CE，根據等邊對等角，得出∠CEB=∠CBE，又∠CEF=∠CBF=90°，由等角的余角相等得出∠BEF=∠EBF；欲證FD=EF，在△FED中，可證∠FED=∠EDF，由于∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，而∠BEF=∠EBF，故∠FED=∠EDF．
（2）假設點D在運動過程中能使四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=

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AB，EF=BF=

1

2

BD，則BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．

解答：解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC，
∴CE=

1

2

AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF，
∵EF=FD．
∴BF=FD．

（2）能．理由如下：
若四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，
∴BC=BF，
∴BA=BD，∠A=45°．
∴當∠A=45°時四邊形ACFE為平行四邊形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．