Question

（2008•黃石）如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）∠A在什么范圍內變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；
（3）∠A在什么范圍內變化時，線段DE上存在點G，滿足條件DG=DA，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=BC．從而得到∠CBE=∠CEB，再根據等角的余角相等證明∠FBE=∠FEB，得到BF=EF．根據等角的余角相等以及等角對等邊再進一步證明EF=DF，最后得到BF=DF；
（2）根據中位線定理得到AE∥CF．要保證是梯形，必須是另一組對邊不平行．首先探索另一組對邊平行時∠A的度數，從而得到是梯形時的取值范圍；
（3）從若要滿足的結論出發，結合上述結論進行分析，先探求∠D的取值范圍，再進一步得到∠A的取值范圍．
解答：（1）證明：在Rt△AEB中，
∵AC=BC，
∴CE=AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF．
∴BF=FD；

（2）解：由（1）BF=FD，而BC=CA，
∴CF∥AD，即AE∥CF．
若AC∥EF，則AC=EF，
∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．
∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°時，四邊形ACFE為梯形；

（3）解：作GH⊥BD，垂足為H，則GH∥AB．
∵DG=DA，
∴DH=DB．
又F為BD中點，
∴H為DF的中點．
∴GH為DF的中垂線．
∴∠GDF=∠GFD．
∵點G在ED上，
∴∠EFD≥∠GFD．
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．
∴3∠EDF≤180度．
∴∠EDF≤60度．
又∠A+∠EDF=90°，
∴30°≤∠A＜90°．
∴當30°≤∠A＜90°時，
DE上存在點G，滿足條件DG=DA．
點評：對學生三角形、四邊形等有關知識的考查，主要體現在三角形全等的判定，直角三角形的中線性質，三角形的中位線性質、梯形的定義等知識．第小題（3）的解決需具備扎實的基礎知識和一定的探究能力，本題具有一定的區分度．