Question

20．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是邊AD的中點，M是邊AB上任一點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD、AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）當AM為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質可得ND∥AM，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）根據矩形的性質得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．
∵E是AD中點，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}&{\;}\\{∠DNE=∠AME}&{\;}\\{DE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=AM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）解：當AM=1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：
∵四邊形AMDN是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四邊形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠AMD=90°．
∵∠BAD=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1．

點評 本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，熟記各性質并求出三角形全等是解題的關鍵，也是本題的突破口．