Question

如圖，∠BAC=90°，AC=AB，直線l與以AB為直徑的圓相切于點B，點E是圓上異于A、B的任意一點．直線AE與l相交于點D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的長；
（2）連接CE，過E作CE的垂線交直線AB于F．當點E在什么位置時，相應的F位于線段AB上、位于BA的延長線上、位于AB的延長線上（寫出結果，不要求證明）．無論點E如何變化，總有BD=BF．請你就上述三種情況任選一種說明理由．

Answer 1

如圖
（1）∵BD是切線，DA是割線BD=6，AD=10
∴DB²=DE•DA
∴DE=

DB2

DA

=

36

10

=3.6；

（2）設M是上半圓的中點，當E在BM弧上時，F在直徑AB上
當E在AM弧上時，F在BA的延長線上，當E在下半圓時，F在AB的延長線上
連接BE
∵AB是直徑，AC、BD是切線，∠CEF=90°
∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE
∵∠CEA=90°-∠AEF
∠FEB=90°-∠AEF
∴∠CEA=∠FEB
∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE
∴

DB

BA

=

BE

AE

，

BF

AC

=

BE

AE

∵AC=AB
∴BD=BF．