Question

3．如圖，二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²+m的圖象經(jīng)過點A（1，-$\frac{3}{4}$），直線l經(jīng)過拋物線的頂點B且與y軸垂直，設(shè)拋物線上有一動點P（a，b）從點A處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動，其縱坐標(biāo)b隨時間t（s）的變化關(guān)系為b=2t-$\frac{3}{4}$，以線段OP為直徑作⊙C．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點P在起始位置點A處時，試判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由：在點P移動的過程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系？請說明你的理由．
（3）若在點P開始運(yùn)動的同時，直線l也向上平行移動，移動速度為每秒3個單位長度，則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時，直線l與⊙C相交？此時，若直線l被⊙C所截得的弦長為a，試求a²的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）只要證明圓心C到直線l的距離等于圓的半徑即可．
（3））①由（2）可知，若直線l與⊙C相切，則：2t-$\frac{5}{8}$=t+$\frac{5}{8}$，t=$\frac{5}{4}$；由此即可判斷當(dāng)0＜t＜$\frac{5}{4}$時，直線l與⊙C相交；
②因為0＜t＜$\frac{5}{4}$時，圓心C到直線l的距離為d=|2t-$\frac{5}{8}$|，又半徑為r=t+$\frac{5}{8}$，所以a²=4（r²-d²）=4[（t+$\frac{5}{8}$）²-|2t-$\frac{5}{8}$|²]=-12t²+15t，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）將點A（1，-$\frac{3}{4}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²+m中，得：
m=-1，
∴拋物線的解析式：y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）結(jié)論：直線l與⊙C始終保持相切．
理由：將P點縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：
$\frac{1}{4}$a²-1=-$\frac{3}{4}$+2t，a=$\sqrt{8t+1}$，
∴P（ $\sqrt{8t+1}$，-$\frac{3}{4}$+2t），
∴圓心C（ $\frac{\sqrt{8t+1}}{2}$，-$\frac{3}{8}$+t），
∴點C到直線l的距離：-$\frac{3}{8}$+t-（-1）=t+$\frac{5}{8}$；
而OP²=8t+1+（-$\frac{3}{4}$+2t）²，得OP=2t+$\frac{5}{4}$，半徑OC=t+$\frac{5}{8}$；
∴直線l與⊙C始終保持相切．

（3）①由（1）可知，若直線l與⊙C相切，則：2t-$\frac{5}{8}$=t+$\frac{5}{8}$，t=$\frac{5}{4}$；
∴當(dāng)0＜t＜$\frac{5}{4}$時，直線l與⊙C相交；
②∵0＜t＜$\frac{5}{4}$時，圓心C到直線l的距離為d=|2t-$\frac{5}{8}$|，又半徑為r=t+$\frac{5}{8}$，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+$\frac{5}{8}$）²-|2t-$\frac{5}{8}$|²]=-12t²+15t，
∴t=$\frac{5}{8}$時，a的平方取得最大值為 $\frac{75}{16}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、直線與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線與圓相切的判定方法，在處理此類問題時，要注意尋找關(guān)鍵點以及分段進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解．