Question

已知：如圖，⊙O和⊙O₁內切于A，直線OO₁交⊙O于另一點B、交⊙O₁于另一點F，過B點作⊙O₁的切線，切點為D，交⊙O于C點，DE⊥AB，垂足為E．
（1）求證：CD=DE；
（2）若將兩圓內切改為外切，其它條件不變，（1）中的結論是否成立？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：要證明CD=DE，可以把它們構造到兩個全等三角形中三角形ADE和三角形ACD中，根據圓周角定理的推論和弦切角定理以及等角的余角相等證明∠ADE=∠ADC．再結合直角和公共邊證明兩個三角形全等．
解答：（1）證明：連接DF、AD；
∵AF為⊙O₁的直徑，
∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC為⊙O₁的切線，
∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA；
連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD=DE．

（2）解：當兩圓外切時，其他條件不變，（1）中的結論仍成立，證法同（1）．
點評：能夠綜合運用圓周角定理的推論、弦切角定理、等角的余角相等，掌握全等三角形的性質和判定．在解決一題多變的時候，思路基本相似．