Question

12．如圖，BC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，AD交BC于點(diǎn)F，tan∠B=$\frac{1}{2}$
（1）求證：DE=2AE；
（2）求sin∠BFD的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，DC，根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠B，由D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，得到$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，求得∠BAC=90°，∠DAC=45°，根據(jù)tan∠ADC=tan∠B=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，于是得到DE=2AE；
（2）連接OD，AC，過F作FH⊥AB于H，由tan∠B=$\frac{HF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)FH=k，BH=2k，根據(jù)勾股定理得到BF=$\sqrt{5}$k，推出AH=HF=k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，求出OF=BF-OB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$k，根據(jù)勾股定理得到DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$k，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AC，DC，
則∠ADC=∠B，
∵D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，∠DAC=45°，
∵CE⊥AD于E
∴∠AEC=90°，
∴AE=CE，
∴tan∠ADC=tan∠B=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2AE；
（2）解：連接OD，AC，過F作FH⊥AB于H，
∴∠COD=∠BAC=90°，
∵tan∠B=$\frac{HF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)FH=k，BH=2k，
∴BF=$\sqrt{5}$k，
∵D為$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴∠BAD=45°，
∴AH=HF=k，
∵HF∥AC，
∴△BFH∽△BCA，
∴$\frac{BH}{AB}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{2k}{3k}=\frac{\sqrt{5}k}{BC}$，
∴BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k，
∴OD=OB=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$k，
∴OF=BF-OB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$k，
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$k，
∴sin∠BFD=$\frac{OD}{DF}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．