Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：
（1）當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？
（2）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）；
（3）當點Q在B、E之間運動時，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為S_△PQE～S_{五邊形PQBCD}=1：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①所示，當PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．解決問題的要點是將△PQE的三邊長PE、QE、PQ用時間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關系（或三角函數）；
（2）分三種情形討論，如圖3中，當點Q在線段BE上時，EP=EQ；如圖4中，當點Q在線段AE上時，EQ=EP；如圖5中，當點Q在線段AE上時，EQ=QP；如圖6中，當點Q在線段AE上時，PQ=EP．分別列出方程即可解決問題．
（3）本問要點是根據題意，列出一元二次方程并求解．假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，則此時S_△PQE=$\frac{1}{30}$S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時刻t；點E到PQ的距離h利用△PQE的面積公式得到．

解答 解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵D、E分別是AC、AB的中點．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
①PQ⊥AB時，
∵∠PQB=∠ADE=90°，∠AED=∠PEQ，
∴△PQE∽△ADE，

$\frac{PE}{AE}$=$\frac{QE}{DE}$，由題意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即 $\frac{4-t}{5}$=$\frac{2t-5}{4}$，
解得t=$\frac{41}{14}$；
②如圖2中，當PQ⊥DE時，△PQE∽△DAE，

∴$\frac{PE}{ED}$=$\frac{QE}{AE}$，
∴$\frac{4-t}{4}$=$\frac{2t-5}{5}$，
∴t=$\frac{40}{13}$，
∴當t為$\frac{41}{14}$s或$\frac{40}{13}$s時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似．

（2）如圖3中，當點Q在線段BE上時，由EP=EQ，可得4-t=5-2t，t=1．
如圖4中，當點Q在線段AE上時，由EQ=EP，可得4-t=2t-5，解得t=3．
如圖5中，當點Q在線段AE上時，由EQ=QP，可得 $\frac{1}{2}$（4-t）：（2t-5）=4：5，解得t=$\frac{20}{7}$．
如圖6中，當點Q在線段AE上時，由PQ=EP，可得 $\frac{1}{2}$（2t-5）：（4-t）=4：5，解得t=$\frac{19}{6}$．
綜上所述，t=1或3或 $\frac{20}{7}$或 $\frac{19}{6}$秒時，△PQE是等腰三角形．


（3）假設存在時刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，
則此時S_△PQE=$\frac{1}{30}$S_梯形DCBE，
∴$\frac{3}{5}$t²-$\frac{39}{10}$t+6=$\frac{1}{30}$×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=$\frac{9}{2}$（舍去）．
當t=2時，
PM=$\frac{3}{5}$×（4-2）=$\frac{6}{5}$，ME=$\frac{4}{5}$×（4-2）=$\frac{8}{5}$，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=$\frac{8}{5}$+1=$\frac{13}{5}$，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{13}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{205}}{5}$．
∵$\frac{1}{2}$PQ•h=$\frac{3}{5}$，
∴h=$\frac{6}{5}$•$\frac{5}{\sqrt{205}}$=$\frac{6\sqrt{205}}{205}$．
∴此時t的值為2s，h=$\frac{6\sqrt{205}}{205}$．

點評 本題是動點型綜合題，解題關鍵是掌握動點運動過程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法．所考查的知識點涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度．注意題中求時刻t的方法：最終都是轉化為一元一次方程或一元二次方程求解，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．