Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，AB邊上的高CD=4，點P從點A出發，沿AB以每秒3個單位長度的速度向終點B運動，當點P不與點A、B重合時，過點P作PQ⊥AB，交邊AC或邊BC于點Q，以PQ為邊向右側作正方形PQMN．設正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）直接寫出tanB的值為 ．
（2）求點M落在邊BC上時t的值．
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時，求S與t之間的函數關系式．
（4）邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：當點M落在BC邊上時，如圖1，

由題意得：AP=3t，

tan∠CAB= ，

∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，

∴3t+4t+2t=5，

t=

（3）解：分三種情況：

①當0＜t≤ 時，如圖1，正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN，

∴S=PQ2=（4t）2=16t2；

②當N與B重合時，如圖2，

AP=3t，PQ=PB=4t，

∴3t+4t=5，

t= ，

當 ＜t＜ 時，如圖3，正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF，

③當 ≤t＜1時，如圖4，正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB，

∴AP=3t，PN=4t，

∴BN=7t﹣5，PB=4t﹣（7t﹣5）=﹣3t+5，

在Rt△APQ中，AQ=5t，

∴QC=5﹣5t，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠ABC，

∴∠QEC=∠ACB，

∴QE=QC=5﹣5t，

∴S=S梯形QPBE= （QE+PB）×PQ，

= （5﹣5t+5﹣3t）×4t=﹣16t2+20t；

綜上所述，S與t之間的函數關系式為：

S=

（4）解：如圖2，當t= 時，CQ=QG=5﹣5t= ，

∴GM=4t﹣ = ，

∴QG=GM，

∴S△QGB=S△GMB，

∴S梯形GQPB：S△GMB=3：1，

當P與D重合時，t=1，如圖5，

則S△CDB：S四邊形CBNM= ×2×4：（42﹣ ×2×4），

=1：3，

綜上所述，t= s或1s時，邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分

【解析】解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵在Rt△ACD中，AD= =3，

∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2，

∴在Rt△BCD中，tan∠B= = =2；

所以答案是2．

【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和正方形的性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．