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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y= x+2交于C、D兩點,其中點C在y軸上,點D的坐標為(3, ).點P是y軸右側的拋物線上一動點,過點P作PE⊥x軸于點E,交CD于點F.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P的橫坐標為m,當m為何值時,以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形?請說明理由.
(3)若存在點P,使∠PCF=45°,請直接寫出相應的點P的坐標.

【答案】
(1)

解:在直線解析式y= x+2中,令x=0,得y=2,

∴C(0,2).

∵點C(0,2)、D(3, )在拋物線y=﹣x2+bx+c上,

解得b= ,c=2,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+ x+2


(2)

解:∵PF∥OC,且以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形,

∴PF=OC=2,

∴將直線y= x+2沿y軸向上、下平移2個單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側的交點,即為所求之交點.

由答圖1可以直觀地看出,這樣的交點有3個.

將直線y= x+2沿y軸向上平移2個單位,得到直線y= x+4,

聯立

解得x1=1,x2=2,

∴m1=1,m2=2;

將直線y= x+2沿y軸向下平移2個單位,得到直線y= x,

聯立

解得x3= ,x4= (在y軸左側,不合題意,舍去),

∴m3=

∴當m為值為1,2或 時,以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形


(3)

解:存在.

理由:設點P的橫坐標為m,則P(m,﹣m2+ m+2),F(m, m+2).

如答圖2所示,過點C作CM⊥PE于點M,則CM=m,EM=2,

∴FM=yF﹣EM= m,

∴tan∠CFM=2.

在Rt△CFM中,由勾股定理得:CF= m.

過點P作PN⊥CD于點N,

則PN=FNtan∠PFN=FNtan∠CFM=2FN.

∵∠PCF=45°,

∴PN=CN,

而PN=2FN,

∴FN=CF= m,PN=2FN= m,

在Rt△PFN中,由勾股定理得:PF= = m.

∵PF=yP﹣yF=(﹣m2+ m+2)﹣( m+2)=﹣m2+3m,

∴﹣m2+3m= m,

整理得:m2 m=0,

解得m=0(舍去)或m=

∴P( );

同理求得,另一點為P( ).

∴符合條件的點P的坐標為( )或( ).


【解析】(1)首先求出點C的坐標,然后利用待定系數法求出拋物線的解析式;(2)本問采用數形結合的數學思想求解.將直線y= x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線,與拋物線y軸右側的交點,即為所求之交點.由答圖1可以直觀地看出,這樣的交點有3個.聯立解析式解方程組,即可求出m的值;(3)本問符合條件的點P有2個,如答圖2所示,注意不要漏解.在求點P坐標的時候,需要充分挖掘已知條件,構造直角三角形或相似三角形,解方程求出點P的坐標.

練習冊系列答案
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(1)列函數表達式:若矩形的周長為8,設矩形的一邊長為x,面積為y,則有y=____________;

(2)上述函數表達式中,自變量x的取值范圍是____________;

(3)列表:

x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y

1.75

3

3.75

4

3.75

3

m

寫出m=____________;

(4)畫圖:在平面直角坐標系中已描出了上表中部分各對應值為坐標的點,請你畫出該函數的圖象;

(5)結合圖象可得,x=____________時,矩形的面積最大;寫出該函數的其它性質(一條即可):____________.

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(2)填空: ①當t為s時,四邊形ACFE是菱形;
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【題目】如圖,于點E于點F,求證:

試將下面的證明過程補充完整填空

證明:已知

______

同位角相等,兩直線平行

兩直線平行,同旁內角互補

已知

______,同角的補角相等

______內錯角相等,兩直線平行

______

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A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)設點P的橫坐標為m;
①用含有m的代數式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值;
②連接PB,線段PC把△PDB分成兩個三角形,是否存在適合的m的值,使這兩個三角形的面積之比為9:10?若存在,直接寫出m的值;若不存在,說明理由.

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