Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm．射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．
（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF；
（2）填空： ①當t為s時，四邊形ACFE是菱形；
②當t為s時，以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，

∵D為AC的中點，

∴AD=CD，

∵在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（AAS）

（2）6；1.5
【解析】（2）解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6， 則此時的時間t=6÷1=6（s）；
②四邊形AFCE為直角梯形時，
（Ⅰ）若CE⊥AG，則AE=CF= BC=3，BF=3×2=6，即點F與點C重合，不是直角梯形．
（Ⅱ）若AF⊥BC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴F為BC中點，即BF=3，
∴此時的時間為3÷2=1.5（s）；
故答案為：6；1.5．
（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；（2）①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可；②分兩種情況考慮：若CE⊥AG，此時四點構成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的長度及時間t的值．