Question

（1）觀察發現
如題（a）圖，若點A，B在直線同側，在直線上找一點P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作點B關于直線的對稱點，連接，與直線的交點就是所求的點P
再如題（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為     ．  
   
（2）實踐運用
如題（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數為60°，點B是弧AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸
如題（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

（1）；（2）；（3）如圖所示：

試題分析：（1）根據等邊三角形的性質及勾股定理求解即可；
（2）作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD與一點P，AP+BP最短，先根據軸對稱性證得△OBE為等邊三角形，即可證得△OAE為等腰直角三角形，從而求得結果；
（3）找B關于AC對稱點E，連DE延長交AC于P即可.
（1）BP+PE的最小值；
（2）作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD與一點P，AP+BP最短，

因為AD的度數為60°，點B是弧AD的中點，
所以∠AEB=15°，
因為B關于CD的對稱點E，
所以∠BOE=60°，
所以△OBE為等邊三角形，
所以∠OEB=60°，
所以∠OEA=45°，
又因為OA=OE，
所以△OAE為等腰直角三角形，
所以；
（3）找B關于AC對稱點E，連DE延長交AC于P即可，如圖所示：

點評：解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊．