Question

設a、b、c是互不相等的實數．求證：

a4

(a-b)(a-c)

+

b4

(b-c)(b-a)

+

c4

(c-a)(c-b)

＞0．

Answer 1

分析：將不等式的左端通分后可將分子進行因式分解，約分后左端可化為a²+b²+c²+ab+ac+bc，配方后即可得出結論．

解答：證明：∵a、b、c是互不相等的實數，
∴

-a4(b-c)-b4(c-a)-c4(a-b)

(a-b)(c-a)(b-c)

=

(a-b)(c-a)(b-c)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

(a-b)(b-c)(c-a)

=a²+b²+c²+ab+ac+bc
=

1

2

[（a+b）²+（b+c）²+（c+a）²]＞0．
故原不等式成立．

點評：本題考查了分式的等式證明，通分后將分子進行因式分解是解答本題的關鍵，難度較大，另外還要求我們要熟練配方法的應用．