Question

如圖是一張直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
（1）若折疊后使點B與點A重合，求OC的長；
（2）若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）若折疊后點B落在邊OA上的點為B″，是否存在B″D∥OB？若存在，求此時滿足條件的OC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CA=CB，設(shè)OC=x，則BC=AC=4-x，在Rt△AOC中利用勾股定理可計算出x的值；
（2）連B′C，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CB′=CB=4-y，在Rt△B′OC中利用勾股定理即可得到x與y的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連B″C，BB″交CD于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CB″=CB，DB=DB″，EB=EB″，由B″D∥OB，易得△BCE≌△B″DE，則EC=ED，得到四邊形BCB″D是菱形，設(shè)OB″=x，OC=y，由（1）得y=-

1

8

x²+2①．又B″D∥OB，得到DB：OB=AB″：AO，即（4-y）：4=（2-x）：2，即y=2x②，聯(lián)立①②即可得到滿足條件的OC的長．

解答：解：（1）如圖1∠AOB=90°，OA=2，OB=4．連AC，
∵折疊后使點B與點A重合，
∴CA=CB，
設(shè)OC=x，則BC=AC=4-x，
在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²，即2²+x²=（4-x）²，解得x=

3

2

．
∴OC的長為

3

2

；

（2）如圖2，連B′C，
∵折疊后點B落在邊OA上的點為B′，
∴CB′=CB，
∴CB′=CB=4-y，
在Rt△B′OC中，OB′²+OC²=B′C²，即x²+y²=（4-y）²，整理得y=-

1

8

x²+2．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）；

（3）存在．
如圖3，連B″C，BB″交CD于E，
∵折疊后點B落在邊OA上的點為B″，
∴CB″=CB，DB=DB″，EB=EB″，
由B″D∥OB，易得△BCE≌△B″DE，
∴EC=ED，
∴四邊形BCB″D是菱形，
∴DB″=B″C，
設(shè)OB″=x，OC=y，由（1）得y=-

1

8

x²+2①．
∵B″D∥OB，
∴DB：OB=AB″：AO，即（4-y）：4=（2-x）：2，
∴y=2x②，
由①②得，2x=-

1

8

x²+2，解得x=±4

5

-8，
∴滿足條件的OC的長為8

5

-16．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點的連線段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．