Question

設正整數m，n，滿足m＜n，且

1

m2+m

+

1

(m+1)2+(m+1)

+…+

1

n2+n

=

1

23

，則m+n的值是

 

．

Answer 1

分析：因為

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，所以可對分式進行化簡得到

1

n

-

1

m+1

=

1

23

，從而求得m，n的值．

解答：解：∵

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

m2+m

+

1

(m+1)2+(m+1)

+…+

1

n2+n

，
=

1

m

-

1

m+1

+

1

m+1

-

1

m+2

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=

1

m

-

1

n+1

=

1

23

=

22

23×22

，
∴m=22，n+1=23×22=506，n=505，
m+n=527．

點評：本題關鍵是看到

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

這個規律，進行化簡求解．