Question

如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知
∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度數；
（2）求⊙O的半徑R；
（3）點F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F重合．在EF的同一側，這樣的三角形共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

Answer 1

解：（1）∵AE切⊙O于點E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3，∠A=30°， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3， ∵OB⊥MN， ∴B為MN的中點，又MN=2， ∴MB=MN=， 連接OM，在△MOB中，OM=R，MB=， ∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°==， ∴BO=OC， ∴OC=OB=， 又OC+EC=OM=R， ∴R=+3， 整理得：R2+18R﹣115=0， 即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 則R=5； （3）在EF同一側，△COB經過平移、旋轉和相似變換后， 這樣的三角形有6個， 如圖，每小圖2個，頂點在圓上的三角形，如右圖所示： 延長EO交圓O于點D，連接DF， 如圖所示， ∵EF=5，直徑ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， 則C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．